俄罗斯数学教材选译 微积分学教程 第8版 第1卷
作者：（俄罗斯）菲赫金哥尔茨著 杨弢亮，叶彦谦译
出版时间： 2006年版
丛编项： 俄罗斯数学教材选译
内容简介
《微积分学教程（第1卷）（第8版）》是一部卓越的数学科学与教育著作。自第一版问世50多年来，本书多次再版。至今仍被俄罗斯的综合大学以及技术和师范院校选作数学分析课程的基本教材之一。并被翻译成多种文字，在世界范围内广受欢迎。《微积分学教程（第1卷）（第8版）》所包括的主要内容是在20世纪初最后形成的现代数学分析的经典部分。本书第一卷包括实变量一元与多元微分学及其基本应用；第二卷研究黎曼积分理论与级数理论；第三卷研究多重积分、曲线积分、曲面积分、斯蒂尔吉斯积分、傅里叶级数与傅里叶变换。《微积分学教程（第1卷）（第8版）》的特点是：一、含有大量例题与应用实例；二、材料的叙述通俗、详细和准确；三、在极少使用集合论的（包括记号）同时保持了叙述的全部严格性，以便读者容易初步掌握本课程的内容。《微积分学教程（第1卷）（第8版）》可供各级各类高等学校的数学分析与高等数学课程作为教学参考书，是数学分析教师极好的案头用书。
目录
绪论实数
§1.有理数域
1.前言(1).
2.有理数域的序(2)
3.有理数的加法及减法(2)
4.有理数的乘法及除法(4)
5.阿基米德公理(5)
§2.无理数的导入实数域的序
6.无理数的定义(6)
7.实数域的序(8)
8.辅助命题(9)
9.用无限小数来表示实数(10)
10.实数域的连续性(12)
11.数集的界(12)
§3.实数的算术运算
12.实数的和的定义(15)
13.加法的性质(16)
14,实数的积的定义(17)
15.乘法的性质(18)
16.结论(19)
17.绝对值(20)
§4.实数的其他性质及应用
18.根的存在.以有理数为指数的幂(21)
19.以任意实数为指数的幂(22)
20.对数(24)
21.线段的度量(25)
第一章极限论
§1.整序变量及其极限
22.变量.整序变量(28)
23.整序变量的极限(31)
24.无穷小量(32)
25.例题(33)
26.关于有极限的整序变量的一些定理(37)
27.无穷大量(38)
§2.极限的定理.若干容易求得的极限
28.对等式及不等式取极限(40)
29.关于无穷小的引理(42)
30.变量的算术运算(43)
31.不定式(44)
32.极限求法的例题(46)
33.斯托尔茨(O.Stolz)定理及其应用(50)
§3.单调整序变量
34.单调整序变量的极限(53)
35.例题(55)
36.数e(60)
37.数e的近似计算法(62)
38.关于区间套的引理(64)
§4.收敛原理.部分极限
39.收敛原理(66)
40.部分数列及部分极限(68)
41.布尔查诺一魏尔斯特拉斯(B.Bolzano-C.Weierstrass)引理(69)
42.上极限及下极限(70)
第二章一元函数
§1.函数概念
43.变量及其变动区域(74)
44.变量间的函数关系,例题(75)
45.函数概念的定义(76)
46.函数的解析表示法(78)
47.函数的图像(80)
48.几类最重要的函数(81)
49.反函数的概念(86)
50.反三角函数(87)
51.函数的叠置.总结(91)
§2.函数的极限
52.函数的极限的定义(92)
53.变成整序变量的情形(94)
54.例题(95)
55.极限理论的拓广(103)
56.例题(105)
57.单调函数的极限(107)
58.布尔查诺—柯西的一般判定法(108)
59.函数的上极限及下极限(110)
§3.无穷小及无穷大的分阶
60.无穷小的比较(110)
61.无穷小的尺度(111)
62.等价无穷小(113)
63.主部的分出(114)
64.应用题(115)
65.无穷大的分阶(117)
§4.函数的连续性及间断
66.函数在一点处的连续性的定义(118)
67.连续函数的算术运算(119)
68.连续函数的例题(120)
69.单侧连续.间断的分类(122)
70.间断函数的例题(122)
71.单调函数的连续性及间断(124)
72.初等函数的连续性(125)
73.连续函数的叠置(126)
74.一个函数方程的解(126)
75.指数函数.对数函数及幂函数的函数特性(128)
76.三角余弦及双曲余弦的函数特性(130)
77.函数的连续性在计算极限时的应用(132)
78.幂指数式(135)
79.例题(136)
§5.连续函数的性质
80.关于函数取零值的定理(137)
81.应用于解方程(139)
82.介值定理(140)
83.反函数的存在(141)
84.关于函数的有界性的定理(143)
85.函数的最大值及最小值(143)
86.一致连续的概念(145)
87.康托定理(147)
88.博雷尔引理(148)
89.基本定理的新证明(149)
第三章导数及微分
§1.导数及其求法
90.求动点速度的问题(152)
91.在曲线上作切线的问题(153)
92.导数的定义(155)
93.求导数的例题(157)
94.反函数的导数(160)
95.导数公式一览表(162)
96.函数的增量的公式(162)
97.求导数的几个简单法则(164)
98.复合函数的导数(166)
99.例题(166)
100.单侧导数(172)
101.无穷导数(173)
102.特殊情形的例题(174)
§2.微分
103.微分的定义(174)
104.可微性与导数存在之间的关系(176)
105.微分法的基本公式及法则(177)
106.微分的形式不变性(179)
107.微分是近似公式的来源(180)
108.应用微分来估计误差(183)
§3.微分学的基本定理
109.费马定理(185)
110.达布(G.Darboux)定理(186)
111.罗尔定理(186)
112.拉格朗日公式(187)
113.导数的极限(189)
114.柯西公式(190)..
§4.高阶导数及高阶微分
115.高阶导数的定义(191)
116.任意阶导数的普遍公式(193)
117.莱布尼茨公式(196)
118.例题(198)
119.高阶微分(200)
120.高阶微分的形式不变性的破坏(201)
121.参变量微分法(202)
122.有限差分(203)
§5.泰勒公式
123.多项式的泰勒公式(205)
124.任意函数的展开式·余项的佩亚诺式(207)
125.例题(210)
126.余项的其他形式(214)
127.近似公式(216)
§6.插值法
128.插值法的最简单问题.拉格朗日公式(221)
129.拉格朗日公式的余项(222)
130.有重基点的插值法.埃尔米特公式(223)
第四章利用导数研究函数
§1.函数的动态的研究
131.函数为常数的条件(226)
132.函数为单调的条件(228)
133.不等式的证明(231)
134.极大值及极小值.必要条件(234)
135.充分条件.第一法则(235)
136.例题(236)
137.第二法则(240)
138.高阶导数的应用(242)
139.最大值及最小值的求法(244)
140.应用题(245)
§2.凸(与凹)函数
141.凸(与凹)函数的定义(249)
142.关于凸函数的简单命题(250)
143.函数凸性的条件(252)
144.詹森不等式及其应用(254)
145.拐点(256)
§3.函数的作图
146.问题的提出(258)
147.作图的步骤·例题(258)
148.无穷间断·无穷区间·渐近线(261)
149.例题(263)
§4.不定式的定值法
150.型不定式(266)
151.型不定式(271)
152.其他型的不定式(273)
§5.方程的近似解
153.导言(275)
154.比例法则(弦线法)(276)
155.牛顿法则(切线法)(279)
156.例题及习题(281)
157.联合法(285)
158.例题及习题(286)
第五章多元函数
§1.基本概念
159.变量之间的函数关系·例题(290)
160.二元函数及其定义域(291)
161.n维算术空间(293)
162.n维空间内的区域举例(297)
163.开域及闭域的一般定义(299)
164.n元函数(301)
165.多元函数的极限(302)
166.变成整序变量的情形(304)
167.例题(306)
168.累次极限(308)
§2.连续函数
169.多元函数的连续性及间断(310)
170.连续函数的运算(312)
171.在域内连续的函数·布尔查诺一柯西定理(312)
172.布尔查诺一魏尔斯特拉斯引理(314)
173.魏尔斯特拉斯定理(316)
174.一致连续性(316)
175.博雷尔引理(318)
176.基本定理的新证明(319)
§3.多元函数的导数及微分
177.偏导数及偏微分(321)
178.函数的全增量(324)
179.全微分(326)
180.二元函数的几何说明(328)
181.复合函数的导数(331)
182.例题(332)
183.有限增量公式(334)
184.沿给定方向的导数(336)
185.(一阶)微分的形式不变性(338)
186.应用全微分子近似算法(340)
187.齐次函数(342)
188.欧拉公式(343)
§4.高阶导数及高阶微分
189.高阶导数(344)
190.关于混合导数的定理(346)
191.推广到一般情形(349)
192.复合函数的高阶导数(350)
193.高阶微分(351)
194.复合函数的微分(354)
195.泰勒公式(355)
§5.极值·最大值及最小值
196.多元函数的极值·必要条件(357)
197.充分条件(二元函数的情形)(359)
198.充分条件(一般情形)(363)
199.极值不存在的条件(366)
200.函数的最大值及最小值·例题(367)
201.应用问题(371)
第六章函数行列式及其应用
§1.函数行列式的性质
202.函数行列式(雅可比式)的定义(380)
203.雅可比式的乘法(381)
204.函数矩阵(雅可比矩阵)的乘法(383)
§2.隐函数
205.一元隐函数的概念(385)
206.隐函数的存在(387)
207.隐函数的可微性(389)
208.多元的隐函数(391)
209.隐函数导数的求法(396)
210.例题(399)
§3.隐函数理论的一些应用
211.相对极值(403)
212.拉格朗日不定乘数法(406)
213.相对极值的充分条件(407)
214.例题及应用题(408)
215.函数的独立性的概念(412)
216.雅可比矩阵的秩(414)
§4.换元法
217.一元函数(418)
218.例题(420)
219.多元函数.自变量的变换(422)
220.微分的求法(423)
221.换元的一般情形(425)
222.例题(427)
第七章微分学在几何上的应用
§1.曲线及曲面的解析表示法
223.平面曲线(直角坐标系)(436)
224.例题(438)
225.机械性产生的曲线(441)
226.平面曲线(极坐标系)例题(444)
227.空间的曲面和曲线(448)
228.参变量表示式(449)
229.例题(451)
§2.切线及切面
230.用直角坐标系时平面曲线的切线(454)
231.例题(455)
232.用极坐标系时的切线(457)
233.例题(458)
234.空间曲线的切线·曲面的切面(459)
235.例题(463)
236.平面曲线的奇异点(464)
237.曲线用参变量表示式的情形(468)
§3.曲线的相切
238.曲线族的包络(469)
239.例题(472)
240.特征点(475)
241.二曲线相切的阶(477)
242.曲线之一用隐式表示的情形(479)
243.密切曲线(480)
244.密切曲线的另一求法(482)
§4.平面曲线的长
245.引理(482)
246.曲线的方向(484)
247.曲线的长.弧长的可加性(485)
248.可求长的充分条件·弧的微分(486)
249.用弧作为参变量.切线的正向(489)
§5.平面曲线的曲率
250.曲率的概念(491)
251.曲率圆及曲率半径(494)
252.例题(496)
253.曲率中心的坐标(499)
254.渐屈线及渐伸线的定义,渐屈线的求法(501)
255.渐屈线及渐伸线的性质(503)
256.渐伸线的求法(506)
附录函数扩充的问题
257.一元函数的情形(508)
258.关于二维空间的问题(509)
259.辅助命题(511)
260.关于扩充的基本定理(514)
261.推广到一般情况(515)
262.总结(516)
索引...
校订后记
