几何代数的形式化与初步应用
作者：关永，李黎明，施智平 著
出版时间： 2020年版
内容简介
《几何代数的形式化与初步应用》以几何代数理论体系与自动定理证明思想为指导，系统深入地研究了几何代数的形式化理论与公理化体系，构建了一个兼具代数推理和几何解算能力的统一形式化数学定理体系，对代数与几何从概念上进行了融合与拓展、从描述方法和运算法则上进行了综合与归纳，为代数理论赋予了“形”的特征，为几何理论提供了“数”的内涵，并将其初步应用于实际物理问题的证明，内容涵盖了自动定理证明、机器人、形式化验证等人工智能领域。《几何代数的形式化与初步应用》主要内容包括：几何代数理论的进展、形式化理论；HOL Light 定理证明器体系；几何代数结构的形式化；几何与物理解释的形式化；单目相机姿态估计模型的形式化分析、对称陀螺运动的形式化分析等初步应用案例。作者长期对系统形式化与自动定理证明进行深入研究，并在机器人安全验证等领域持续实践迭代，《几何代数的形式化与初步应用》是对该过程成果的高度凝练与系统总结。
目录
目录
序
前言
第1章 绪论 1
1.1 背景 1
1.2 几何代数与数学形式化 2
1.2.1 几何代数的发展历史 2
1.2.2 数学理论形式化及其发展历史 4
1.3 主要内容 11
1.4 本书结构 13
1.5 符号约定 14
参考文献 15
第2章 几何代数简介 22
2.1 二次型空间 22
2.2 结构、元素、运算和子空间 23
2.2.1 公理性质 23
2.2.2 几何代数基底 24
2.2.3 多重向量 27
2.2.4 内积和外积 27
2.3 几何解释 29
参考文献 32
第3章 几何代数结构的形式化 33
3.1 元素与运算 33
3.1.1 多重向量 34
3.1.2 积运算 39
3.1.3 几何积的逆运算 41
3.1.4 运算性质和自动解算程序 42
3.2 Blade 的定义及性质 47
3.2.1 定义 47
3.2.2 几何积 48
3.2.3 外积 49
3.2.4 线性相关 51
3.2.5 标量积 53
3.2.6 反转 53
3.2.7 共轭 54
3.2.8 范数 55
3.2.9 内积 56
3.2.10 对偶 58
3.2.11 逆和伪逆 60
3.2.12 水平投影 62
3.2.13 垂直投影 63
3.2.14 相交和连接 63
3.3 Versor 的定义及性质 64
3.3.1 定义 64
3.3.2 性质 67
3.3.3 几何变换 68
3.4 多重向量的微分 68
3.5 具体代数实例 69
3.5.1 Gibbs 向量代数 69
3.5.2 复数 70
3.5.3 四元数 71
3.5.4 对偶四元数 71
3.6 本章小结 72
参考文献 72
第4章 几何与物理解释的形式化 74
4.1 引言 74
4.2 几何空间的表示 75
4.3 Euclidean 空间 76
4.3.1 外积零空间表示 76
4.3.2 内积的几何解释 77
4.3.3 内积零空间表示 77
4.3.4 反射 81
4.3.5 旋转 82
4.4 射影空间 84
4.4.1 定义 84
4.4.2 外积零空间表示 85
4.4.3 内积零空间表示 86
4.4.4 反射的表示问题 87
4.4.5 旋转 87
4.5 共形空间 88
4.5.1 Euclidean 空间的立体嵌入 88
4.5.2 立体嵌入的Minkowski 齐次化 89
4.5.3 G4，1的内积零空间表示 92
4.5.4 G4，1的外积零空间表示 97
4.5.5 各种几何实体表示方法汇总 100
4.5.6 Gn+1，1中的反射 101
4.5.7 Gn+1，1中的逆变换 102
4.5.8 Gn+1，1中的平移 105
4.5.9 Gn+1，1中的旋转 106
4.5.10 Gn+1，1中的缩放变换 107
4.6 基本物理量的几何代数形式化表示 108
4.6.1 质点系统中经典力学物理量 108
4.6.2 旋转系统与刚体运动 109
4.7 本章小结 119
参考文献 119
第5章 应用案例 120
5.1 一种单目相机姿态估计模型的形式化分析 120
5.1.1 引言 120
5.1.2 分析方法 121
5.1.3 逆变换相机模型的形式化 121
5.1.4 透镜畸变相机的形式化分析 123
5.1.5 反射相机的形式化分析 126
5.1.6 姿态估计的形式化 128
5.2 对称陀螺运动的形式化分析 130
5.2.1 引言 131
5.2.2 动能和角动量 131
5.2.3 欧拉方程与守恒定理 132
5.2.4 运动分析 134
5.3 本章小结 135
参考文献 136
第6章 总结和展望 138
6.1 总结 138
6.2 展望 139
