现代分析基础及其应用
作者：张福保 编著
出版时间：2014年版
内容简介
《现代分析基础及其应用》包括三个部分，第一部分是（后）现代分析的基本理论，主要包括Banach空间微分学、分歧与约化方法、微分流形基础等，第二部分是拓扑方法及其应用，主要介绍Brouwer度、Leray-Schauder度理论及应用、半序方法与上下解方法、锥映射的拓扑度等，第三部分是变分方法，主要包括约束极值和近似极值、环绕与极小极大原理、山路引理、指标与畴数等临界点理论以及它们在偏微分方程与动力系统中的应用初步，也特别介绍了与作者工作相关的变分课题的最新研究进展，《现代分析基础及其应用》既重视理论，又突出应用；既重视基础，又提供了最前沿的研究课题与参考文献，选材广泛，深入浅出，推导翔实。本书还选编了相当数量的难度适中的例题与习题。《现代分析基础及其应用》可作为数学各专业研究生在学习泛函分析之后的分析学，特别是非线性泛函分析的入门教材与参考资料。
目录
序言
第1章 Banach空间微分学
1.1 Banach空间
1.1.1 Banach空间与线性算子理论概要
1.1.2 Sobolev空间与嵌入定理
1.1.3 半序Banach空间与锥
1.2 非线性映射的连续性与有界性
1.2.1 连续性与有界性
1.2.2 泛函的极值
1.2.3 Nemytski算子
1.3 Gateaux导数与Frechet导数
1.3.1 抽象函数的积分与微分
1.3.2 Gateaux导数
1.3.3 Frechet导数
1.3.4 Nemytski算子及一类泛函的可微性
1.3.5 高阶导数与Taylor公式
1.4 全连续映射与变分框架
1.4.1 全连续映射及其性质
1.4.2 变分框架
1.5 常微分方程初值问题
1.5.1 局部可解性
1.5.2 解的全局存在定理
1.6 隐函数定理
1.6.1 反函数定理
1.6.2 隐函数定理
1，6.3 广义反函数定理
1.7 分歧与Lyapunov-Schmidt约化
1.7.1 分歧初步
1.7.2 Lyapunov-Schmidt约化
1.7.3 Newton迭代程序
1.7.4 小分母问题
1.8 Hilbert微分流形概要
第1章 习题
第2章 拓扑方法
2.1 Brouwer度与不动点定理
2.1.1 Brouwer度的定义
2.1.2 Brouwer度的性质
2.1.3 Brouwer不动点定理与Borsuk定理
2.2 Leray-Schauder度与不动点定理
2.2.1 Leray-Schauder度的定义
2.2.2 Leray-Schauder度的性质
2.2.3 Leray-Schauder不动点定理与Borsuk定理的推广
2.3 拓扑度理论的应用
2.3.1 Banach空间中的常微分方程初值问题
2.3.2 半线性椭圆方程的Dirichlet问题
2.4 增算子与上、下解方法
2.4.1 上、下解与单调迭代
2.4.2 上、下解的存在性
2.5 锥映射的拓扑度
2.5.1 锥映射拓扑度的建立
2.5.2 锥映射拓扑度的性质
2.5.3 多重正解的存在性
第2章 习题
第3章 变分方法
3.1 约束极值与近似极值
3.1.1 约束极值
3.1.2 近似极值与Ekeland变分原理
3.2 形变引理
3.2.1 下降流线与伪梯度向量场
3.2.2 形变引理
3.3 极小极大原理与鞍点定理
3.3.1 极小极大原理
3.3.2 环绕（link）
3.3.3 Z2指标与Sl指标理论
3.3.4 畴数
3.4 临界点定理应用
3.4.1 山路引理在椭圆型边值问题中的应用
3.4.2 环绕在二阶周期系统中的应用
3.4.3 22指标在椭圆边值问题中的应用
3.5 当前变分方法研究的几点注记
3.5.1 变分方法和非线性偏微分方程
3.5.2 强不定问题
3.5.3 Kirchhoff问题
第3章 习题
参考文献
附录 关于矩阵特征值代数重数与几何重数的注记
