纯粹数学与应用数学专著 典藏版 第36号 无穷维随机分析引论
作者：黄志远，严加安 著
出版时间： 2018年版
丛编项： 纯粹数学与应用数学专著
内容简介
本书系统地介绍了Malliavin分析和白噪声分析这两个无穷维随机分析重要领域.全书分五章.第一章介绍无穷维分析的基础知识，包括Hilbert空间中的线性算子、Fock空间、核空间及其对偶、拓扑线性空间上的Borel 测度;第二章介绍Malliavin随机变分的基本理论;第三章介绍随机变分的若干重要应用，包括Hormander定理的概率证明，抽象Wiener空间上的位势理论和拟必然分析，非适应随机分析;第四章介绍白噪声分析的一般理论，包括一般框架，泛函空间的刻画，泛函的乘积和Wick积;第五章介绍广义泛函的分析运算及广义泛函空间中的算子理论，并简要介绍了它们在量子物理中的应用.
目录
目录
第一章 无穷维分析的基础知识 1
§1 Hilbert空间中的线性算子 1
1.1 基本概念、记号及若干引理 1
1.2 可闭算子、对称算子与自共轭算子 5
1.3 下半有界对称算子的自共轭延拓 10
1.4 自共轭算子的谱分解 12
1.5 Hilbert-Schmidt算子与迹算子 18
§2 Fock空间与二次量子化 24
2.1 Hilbert空间的张量积 24
2.2 Fock空间 30
2.3 二次量子化算子 32
§3 赋可列范空间与核空间 36
3.1 赋可列范空间及其对偶空间 37
3.2 核空间及其对偶空间 42
3.3 拓扑张量积、Schwartz核定理 47
§4 拓扑线性空间上的Borel测度 51
4.1 Minlos-Sazanov定理 51
4.2 Hilbert空间上的Gauss测度 60
4.3 Banach空间上的Gauss测度 64
第二章 Malliavin随机变分学 73
§1 Gauss概率空间与Wiener混沌分解 74
1.1 Gauss概率空间及其上的泛函 74
1.2 数值模型 79
1.3 多重Wiener-Ito积分表示 83
§2 泛函的微分运算、梯度与散度 89
2.1 有限维Gauss概率空间 89
2.2 光滑泛函的梯度与散度 95
2.3 泛函的Sobolev空间 100
§3 Meyer不等式及其推论 106
3.1 Ornstein-Uhlenbeck半群 106
3.2 LP乘子定理 111
3.3 Meyer不等式 114
3.4 Meyer-Watanabe广义泛函 120
§4 非退化泛函的分布密度 125
4.1 Malliavin协方差阵及若干引理 125
4.2 分布密度的存在性 129
4.3 分布密度的光滑性 133
4.4 例 137
第三章 Wiener泛函的随机变分 140
§1 Ito泛函的微分分析与热核的正则性 140
1.1 Skorohod积分 140
1.2 随机微分方程解的光滑性 146
1.3 亚椭圆性与Hormander条件 149
1.4 Hormander定理的概率证明 155
§2 Wiener空间中的位势理论与拟必然分析 161
2.1（k，p）-容度 161
2.2 拟连续修正 165
2.3 容度的胎紧性、连续性与不变性 168
2.4 正广义泛函与有限能量测度 172
2.5 随机过程的拟必然轨道性质 176
§3 非适应随机分析 179
3.1 Skorohod积分的Riemann和逼近 180
3.2 非适应过程的Ito公式 184
3.3 非适应随机微分方程 193
第四章 白噪声分析的一般理论 200
§1 白噪声分析的一般框架 201
1.1 Wick张量积与Wiener-Ito-Segal同构 202
1.2 检验泛函与广义泛函空间 205
1.3 经典的白噪声分析框架 211
§2 泛函空间的刻画 212
2.1 S-变换与空间（E）C-β（0≤β<1）的刻画 213
2.2 局部S-变换与空间（E）C-1的刻画 221
2.3 检验泛函空间的两种刻画 223
2.4 广义泛函的若干例子 228
§3 泛函的乘积与Wick积 236
3.1 泛函的乘积 236
3.2 广义泛函的Wick积 240
3.3 应用于Feynman积分 243
§4 广义泛函空间的矩刻画与正广义泛函 245
4.1 重正化算子 245
4.2 广义泛函空间的矩刻画 248
4.3 正广义泛函的测度表示 250
4.4 应用于P（φ）2-量子场 259
第五章 广义泛函空间中的线性算子 264
§1 广义泛函的分析运算 264
1.1 刻度变换 264
1.2 推移算子与Sobolev微分 267
1.3 梯度算子与散度算子 272
§2 广义泛函空间中的连续线性算子 275
2.1 算子的象征与混沌分解 276
2.2 广义算子的S-变换与Wick积 282
§3 积分核算子与算子的积分核表示 288
3.1 张量积的缩合 288
3.2 积分核算子 291
3.3 广义算子的积分核表示 299
§4 在量子物理中的若干应用 303
4.1 量子随机积分 303
4.2 Klein-Gordon场 306
4.3 无穷维经典Dirichlet型 309
附录A Hermite多项式与Hermite函数 317
附录B 局部凸空间及其对偶 322
1 半范、范数与H范 322
2 局部凸拓扑线性空间、有界集 323
3 投影拓扑与拓扑投影极限 325
4 归纳拓扑与拓扑归纳极限 326
5 对偶空间和弱拓扑 327
6 相容性和Mackey拓扑 328
7 强拓扑和自反性 329
8 对偶映射 330
9 均匀凸空间和Banach-Saks定理 331
评注 332
参考文献 337
名词索引 360
符号说明 365
