计算方法 第二版
出版时间：2013年版
内容简介
《计算机类本科规划教材：计算方法（第2版）》比较全面地介绍了现代科学与工程计算中常用的数值计算方法。全书共分12章，主要内容有：引论、计算方法的数学基础、方程求根、解线性方程组的直接法、解线性方程组的迭代法、函数插值、函数逼近、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法、矩阵特征值计算、函数优化计算和MATLAB编程基础及其在计算方法中的应用。
目录
第1章 引论 1
1.1 从数学到计算 1
1.2 误差理论初步 5
1.2.1 误差的来源 5
1.2.2 误差的度量 6
1.2.3 误差的传播 9
1.2.4 数值稳定性 11
1.3 数值计算的若干原则 11
1.3.1 避免两个相近数相减 12
1.3.2 避免用绝对值过小的数作为除数 12
1.3.3 要防止大数“吃掉”小数 13
1.3.4 简化计算步骤，提高计算效率 14
1.3.5 使用数值稳定的算法 14
本章小结 16
习题1 16
第2章 计算方法的数学基础 18
2.1 微积分的有关概念和定理 18
2.1.1 数列与函数的极限 18
2.1.2 连续函数的性质 20
2.1.3 罗尔定理和微分中值定理 20
2.1.4 积分加权平均值定理 21
2.2 微分方程的有关概念和定理 22
2.2.1 基本概念 22
2.2.2 初值问题解的存在唯一性 23
2.3 线性代数的有关概念和定理 23
2.3.1 线性相关和线性无关 23
2.3.2 方阵及其初等变换 25
2.3.3 线性方程组解的存在唯一性 27
2.3.4 特殊矩阵 29
2.3.5 方阵的逆及其运算性质 30
2.3.6 矩阵的特征值及其运算性质 31
2.3.7 对称正定矩阵 34
2.3.8 对角占优矩阵 35
2.3.9 向量和连续函数的内积 36
2.3.10 向量、矩阵和连续函数的范数 37
2.3.11 向量序列与矩阵序列的极限 42
本章小结 43
习题2 43
第3章 方程求根 45
3.1 引言 45
3.2 二分法 46
3.3 迭代法 50
3.3.1 不动点迭代 50
3.3.2 迭代法的收敛性 51
3.3.3 迭代法的改善 57
3.4 牛顿迭代法 59
3.4.1 牛顿迭代公式及其几何意义 59
3.4.2 牛顿迭代公式的收敛性 60
3.4.3 重根情形 63
3.5 弦截法 65
本章小结 66
习题3 66
第4章 解线性方程组的直接法 68
4.1 引言 68
4.2 高斯消去法 69
4.2.1 顺序高斯消去法 69
4.2.2 主元素高斯消去法 73
4.2.3 高斯-约当消去法 75
4.3 矩阵三角分解法 77
4.3.1 高斯消去法与矩阵三角分解 77
4.3.2 直接三角分解法 78
4.4 解三对角方程组的追赶法 82
4.5 误差分析 85
4.5.1 病态方程组与条件数 85
4.5.2 病态方程组的解法 89
本章小结 90
习题4 90
第5章 解线性方程组的迭代法 92
5.1 引言 92
5.2 雅可比迭代法 94
5.3 高斯-塞德尔迭代法 95
5.4 迭代法的收敛性 97
本章小结 104
习题5 104
第6章 函数插值 107
6.1 引言 107
6.1.1 插值问题 107
6.1.2 插值多项式的存在唯一性 108
6.2 拉格朗日插值 109
6.2.1 线性插值与抛物插值 109
6.2.2 拉格朗日插值 111
6.2.3 插值余项与误差估计 113
6.3 牛顿插值 117
6.4 埃尔米特插值 121
6.5 分段低次插值 123
6.5.1 高次插值与龙格现象 123
6.5.2 分段线性插值 124
6.5.3 分段三次埃尔米特插值 126
6.6 样条函数插值 128
6.6.1 三次样条插值函数 128
6.6.2 三次样条插值函数的求法 130
本章小结 133
习题6 133
第7章 函数逼近 137
7.1 引言 137
7.2 函数的内积与正交多项式 138
7.2.1 权函数和函数的内积 138
7.2.2 正交函数系 138
7.2.3 勒让德多项式 140
7.2.4 切比雪夫多项式 141
7.3 最佳一致逼近 142
7.3.1 基本概念 142
7.3.2 线性最佳一致逼近多项式 143
7.3.3 近似最佳一致逼近多项式 145
7.4 最佳平方逼近 146
7.4.1 基本概念 146
7.4.2 最佳平方逼近函数 147
7.5 离散数据的曲线拟合 149
7.5.1 曲线拟合问题 149
7.5.2 多项式拟合 150
7.5.3 正交多项式拟合 152
本章小结 153
习题7 154
第8章 数值积分与数值微分 155
8.1 引言 155
8.1.1 数值求积的必要性 155
8.1.2 数值积分的基本思想 156
8.1.3 代数精度 156
8.1.4 插值型求积公式 158
8.2 牛顿-柯特斯求积公式 160
8.2.1 牛顿-柯特斯公式的导出 160
8.2.2 牛顿-柯特斯公式的误差估计 162
8.3 复合求积公式 164
8.3.1 复合梯形求积公式 165
8.3.2 复合辛普生求积公式 166
8.4 外推算法与龙贝格算法 168
8.4.1 变步长的求积公式 168
8.4.2 外推算法 169
8.4.3 龙贝格求积公式 170
8.5 高斯求积公式 174
8.5.1 高斯点与高斯求积公式 174
8.5.2 高斯-勒让德求积公式 175
8.5.3 高斯求积公式的稳定性和收敛性 178
8.6 数值微分 179
8.6.1 中点公式 179
8.6.2 插值型微分公式 181
本章小结 183
习题8 183
第9章 常微分方程初值问题的数值解法 187
9.1 引言 187
9.2 欧拉公式 189
9.2.1 欧拉公式及其意义 189
9.2.2 欧拉公式的变形 190
9.3 单步法的局部截断误差和方法的阶 193
9.4 龙格-库塔方法 196
9.4.1 龙格-库塔方法的基本思想 196
9.4.2 二阶龙格-库塔方法的推导 196
9.4.3 四阶经典龙格-库塔方法 199
9.5 单步法的收敛性和稳定性 201
9.5.1 单步法的收敛性 202
9.5.2 单步法的稳定性 204
本章小结 207
习题9 207
第10章 矩阵特征值计算 210
10.1 引言 210
10.2 幂法及反幂法 212
10.2.1 幂法 212
10.2.2 反幂法 215
10.3 QR方法 216
10.3.1 反射变换 217
10.3.2 矩阵的QR分解 218
10.3.3 QR方法 220
10.4 雅可比方法 221
10.4.1 平面旋转矩阵 221
10.4.2 雅可比方法及其改进 223
本章小结 225
习题10 226
第11章 函数优化计算 227
11.1 引言 227
11.2 一元函数优化计算 228
11.2.1 牛顿法 228
11.2.2 拟牛顿法 230
11.2.3 黄金分割法 231
11.3 多元函数优化计算 232
11.3.1 多元函数有最优解的条件 232
11.3.2 多元函数数值求解的原则 233
11.3.3 梯度法 234
11.3.4 牛顿法 236
11.3.5 共轭方向法 238
11.3.6 拟牛顿法（变尺度法） 240
本章小结 242
习题11 243
第12章 MATLAB编程基础及其在计算方法中的应用 244
12.1 MATLAB简介 244
12.2 命令窗口和基本命令 245
12.3 变量、常量和数据类型 246
12.4 数值运算 247
12.4.1 向量运算 247
12.4.2 矩阵运算 248
12.5 符号运算 251
12.5.1 字符串运算 251
12.5.2 符号表达式运算 252
12.5.3 符号矩阵运算 255
12.5.4 符号微积分运算 256
12.5.5 方程求解 258
12.6 图形可视化 260
12.6.1 二维图形绘制 260
12.6.2 三维图形绘制 261
12.7 程序设计 262
12.7.1 命令文件与函数文件 262
12.7.2 控制语句 263
12.7.3 调试方法 265
12.8 MATLAB在计算方法中的应用 266
12.8.1 方程求根 266
12.8.2 解线性方程组的直接法 270
12.8.3 解线性方程组的迭代法 275
12.8.4 函数插值 278
12.8.5 函数逼近 281
12.8.6 数值积分 283
12.8.7 常微分方程的数值解法 287
12.8.8 矩阵特征值问题计算 291
12.8.9 函数优化计算 297
本章小结 299
习题12 300
附录A 计算方法实验 301
实验1 方程求根 302
实验2 解方程组的直接法 303
实验3 解线性方程组的迭代法 304
实验4 插值问题 305
实验5 曲线拟合 306
实验6 数值积分 307
实验7 数值微分 308
实验8 求解常微分方程的初值问题 309
实验9 求解三对角线性方程组 310
实验10 矩阵特征值问题计算 312
实验11 函数优化计算 313
参考文献 315
