非线性演化系统的符号计算方法

非线性演化系统的符号计算方法
出版时间：2013年版
丛编项： 非线性科学丛书
内容简介
　　《非线性科学丛书：非线性演化系统的符号计算方法》是对非线性Vakhnenko方程精确解深入而系统研究的一本专著。非线性Vakhnenko方程最早由乌克兰国家科学院的地理学家V。A。Vakhnenko在上世纪九十年代初提出。非线性Vakhnenko方程是描述高频波在稀松界质中传播的一类重要非线性偏微分方程模型。由于该方程的一些奇特属性，近二十年来吸引了国际上许多学者进行研究。《非线性科学丛书：非线性演化系统的符号计算方法》应用若干构造精确解的新方法，如Hirota双线性法、辅助方程法、（G′/G）展开法和扩展的（G′/G）展开法等，对非线性Vakhnenko方程及其几类广义化的非线性Vakhnenko方程进行研究，获得了这些方程的系列新精确解。这些精确解包括周期波解、倍周期波解、N孤子解和广义行波解等。深入研究了解的奇特属性和演化规律、解的激发等。《非线性演化系统的符号计算方法/非线性科学丛书》可作为高等学校数学类、物理类、计算机类以及非线性系统等理工科的高年级本科生、研究生和科研人员做为选修教材或参考书。
目录
前言
第一部分 非线性演化系统基础
第1章 引言
1.1 几个基本概念
1.1.1 线性与非线性
1.1.2 演化系统与动力系统
1.1.3 演化系统与偏微分方程
1.1.4 偏微分方程的阶和解
1.2 线性偏微分方程
1.2.1 线性偏微分方程定义
1.2.2 线性偏微分方程的叠加原理
第2章 非线性演化系统
2.1 非线性演化系统及其相关性质
2.1.1 孤立波与KdV方程
2.1.2 孤立波与孤子
2.1.3 非线性演化系统的精确解
2.2 非线性演化系统的激发
2.2.1 孤立波的激发
2.2.2 孤子、混沌与分形的关系
2.3 非线性演化系统的模型化
2.3.1 非线性Vakhnenko系统
2.3.2 稀松介质中高频波传播的非线性Vakhnenko系统模型
2.3.3 Vakhnenko系统的研究进展
第二部分 非线性演化系统的精确解
第3章 (G′/G)展开法与修正广义的Vakhnenko系统的孤立波解
3.1 二阶线性常微分方程
3.1.1 常微分方程的基本概念
3.1.2 二阶线性常微分方程及其解的结构
3.1.3 二阶常系数齐次线性常微分方程
3.2 (G′/G)展开法
3.3 (G′/G)展开法与Vakhnenko系统的精确孤立波解
3.4 修正广义的Vakhnenko系统的孤立波
3.4.1 对修正广义的Vakhnenko系统一个变换
3.4.2 修正广义的Vakhnenko系统的孤立波解
3.5 系统参数对修正广义的Vakhnenko系统孤立波的传播控制
3.5.1 参数β对孤立波的控制
3.5.2 参数p对孤立波的控制
3.5.3 参数q对孤立波的控制
3.5.4 参数k对系统的控制
3.5.5 参数λ,μ对系统的控制
3.6 本章小结
第4章 扩展的(G′/G)展开法与Vakhnenko系统的广义行波解
4.1 扩展的(G′/G)展开法
4.2 Vakhnenko系统的广义行波解
4.3 Vakhnenko系统的激发孤立波
4.3.1 周期波激发
4.3.2 环形孤立波激发
4.4 本章小结
第5章 扩展的Riccati映射法与一类广义Vakhnenko系统广义行波解
5.1 Riccati映射法
5.1.1 Tanh函数展开法
5.1.2 Riccati映射法
5.2 一类广义Vakhnenko系统的广义行波解
5.3 单环孤立波激发
5.4 双环孤立波激发
5.5 本章小结
第6章 改进的Hirota法与广义扩展Vakhnenko系统
6.1 Hirota双线性法
6.1.1 Hirota双线性算子及其性质
6.1.2 Hirota双线性法步骤
6.1.3 改进的Hirota双线性法求解
6.2 改进的Hirota双线性法的一个应用
6.2.1 耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统
6.2.2 耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的光滑N孤立波
6.2.3 耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的奇异N孤立波
6.2.4 耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的N孤立波演化与交互
6.3 扩展广义Vakhnenko系统的多孤立波
6.3.1 扩展广义Vakhnenko系统的单孤立波
6.3.2 扩展广义Vakhnenko系统的二孤立波
6.3.3 扩展广义Vakhnenko系统的三孤立波
6.4 扩展广义Vakhnenko系统孤立波间的交互
6.4.1 双孤立波交互
6.4.2 三孤立波交互
6.5 本章小结
第7章 F-展开法与修正广义Vakhnenko系统的包络解
7.1 F-展开法
7.1.1 F-展开法的求解步骤
7.2 修正广义Vakhnenko系统的Jacobi函数包络解
7.3 修正广义Vakhnenko系统的行波与孤立波特性
7.4 本章小结
第8章 动力系统法与非线性演化系统的精确解
8.1 动力系统法
8.2 动力系统法求修正广义Vakhnenko系统的精确解
8.2.1 修正广义Vakhnenko系统的三类精确行波解
8.2.2 解的验证
8.3 动力系统法求短脉冲系统的精确解
8.3.1 短脉冲系统
8.3.2 短脉冲系统的Jacobi椭圆函数解
8.4 本章小结
第9章 混合法构造非线性演化系统的精确解
9.1 混合法
9.2 (1+1)维Gardner系统
9.3 (1+1)维Gardner系统的混合函数解
9.4 (1+1)维Gardner系统的混合函数解的传播特性
9.5 本章小结
第三部分 非线性演化系统的孤子激发
第10章 非线性演化系统的时间孤子激发
10.1 非线性耦合Schr?dinger系统
10.1.1 非线性耦合Schr?dinger系统的数学模型
10.1.2 非线性耦合Schr?dinger系统的广义行波解
10.1.3 非线性耦合Schr?dinger系统的时间孤子激发
10.2 非线性耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统
10.2.1 非线性耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统简介
10.2.2 非线性耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的广义行波解
10.2.3 非线性耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的时间孤子激发
10.3 本章小结
第11章 非线性演化系统的特殊孤子结构激发
11.1 (2+1)维变系数色散长波系统的广义行波解
11.2 (2+1)维变系数色散长波系统的特殊孤子结构激发
11.2.1 单向线孤子
11.2.2 Lump孤子与环孤子
11.2.3 Dromion孤子
11.2.4 振动Dromion孤子
11.2.5 呼吸孤子
11.2.6 Solitoff孤子
11.2.7 Peakon孤子
11.2.8 Compacton孤子
11.2.9 方孤子
11.2.10 折叠孤子
11.2.11 单向折叠孤子
11.2.12 单向双折叠孤子
11.2.13 单向上下折叠孤子
11.2.14 双层凹状折叠孤子
11.2.15 双向折叠孤子
11.2.16 单向多折叠孤子
11.2.17 双向双层折叠孤子
11.3 (2+1)维变系数色散长波系统的其他折叠孤子
11.3.1 周期性压缩折叠孤子
11.3.2 指数压缩折叠孤子
11.4 (2+1)维变系数色散长波系统孤子间的相互作用
11.4.1 孤子的非弹性碰撞
11.4.2 孤子的弹性碰撞
11.5 (2+1)维变系数色散长波系统孤子的裂变与聚变
11.5.1 孤子裂变
11.5.2 孤子聚变
11.5.3 (2+1)维变系数色散长波系统的孤子湮灭
11.6 (2+1)维变系数色散长波系统的周期波背景孤子
11.6.1 周期波背景Dromion孤子
11.6.2 周期波背景的双Dromion孤子及其演化
11.7 (3+1)维Burgers系统的广义行波解
11.8 (3+1)维Burgers系统的内嵌孤子
11.8.1 内嵌孤子
11.8.2 三重内嵌孤子
11.8.3 明暗内嵌孤子
11.8.4 螺旋状明暗内嵌孤子
11.9 (3+1)维Burgers系统的锥孤子
11.10 (3+1)维Burgers系统的柱孤子
11.11 本章小结
第12章 非线性演化系统的混沌结构激发
12.1 混沌系统
12.1.1 混沌的基本概念
12.1.2 Lorenz混沌系统
12.1.3 Duffing混沌系统
12.2 单向混沌结构
12.2.1 (3+1)维Burgers系统的单向混沌结构
12.2.2 (2+1)维变系数色散长波系统的单向混沌结构
12.3 双向混沌结构
12.3.1 (3+1)维Burgers系统的双向混沌结构
12.3.2 (2+1)维变系数色散长波系统的双向混沌结构
12.4 混沌结构演化
12.5 本章小结
第13章 非线性演化系统的分形结构激发
13.1 分形的基本概念
13.2 (2+1)维变系数Broer-Kaup系统
13.3 (2+1)维变系数Broer-Kaup系统的广义行波解
13.4 (2+1)维变系数Broer-Kaup系统的分形结构激发
13.4.1 十字型分形结构
13.5 Dromion分形结构
13.6 Lump分形结构
13.7 复合分形结构
13.8 本章小结
附录A Jacobi椭圆函数及其基本公式
A.1 Jacobi椭圆函数的定义
A.2 Jacobi椭圆函数的基本公式
附录B 部分局域结构激发的Matlab作图程序
B.1 折叠孤子激发的Matlab作图程序
B.2 混沌结构激发的Matlab作图程序
B.3 分形结构激发的Matlab作图程序
参考文献
索引
插图目录
图3.1 参数β对孤立波的影响.孤立波(3.91)在设置(3.106),β取不同值时的形状
图3.2 参数p对孤立波的影响.孤立波(3.91)在设置(3.107),p取不同值时的形状
图3.3 参数q对孤立波的影响.孤立波(3.91)在设置(3.108),q取不同值时的形状
图3.4 参数k对孤立波的影响.孤立波(3.91)在设置(3.109)和δ=1.25,k取不同值时的形状
图3.5 峰状孤立波.孤立波(3.91)在设置(3.110)和δ=1.25时的形状
图3.6 尖状孤立波.孤立波(3.91)在设置(3.110)和δ=2.35时的形状
图3.7 环状孤立波.孤立波(3.91)在设置(3.110)和δ=3.85时的形状
图4.1 系统(4.2)不同视图下的周期波.解(4.38),a;k;V;C1;C2;λ;δ1取式(4.40)
图4.2 系统(4.2)的周期波.解(4.38),a=1;k=2;V=0.2;C1=3;C2=2;δ1取不同值
图4.3 系统(4.2)的周期波.解(4.38),a=0.4;k=2;V=0.2;C1=3;C2=2;T=1;δ1取不同值
图4.4 系统(4.2)的周期波.解(4.38),a=0.4;k=1.1;V=0.2;C1=3;C2=2;δ1=3;T取不同值
图4.5 系统(4.2)不同视图下的孤立波.解(4.21)中f(X);g(T)取式(4.41),a;k;V;C1;C2;λ;δ1取式(4.48)
图4.6 系统(4.2)的环孤立波.解(4.21)中f(X);g(T)取式(4.41),a;k;V;C1;C2;λ;δ1取式(4.48),δ1取不同值
图5.1 单环孤立波(5.32)在不同视图下的图形.参数设置为V=1;k=1;p=0.5;σ=-3;a=0.8
图5.2 单环孤立波(5.32)的图形.参数设置为V=1;k=1;p=0.5;σ=-3;a=1,T取不同值
图5.3 参数a对单环孤立波(5.32)的影响.设置为V=1;k=1;p=0.5;σ=-3;T=0,a取不同值
图5.4 参数σ对单环孤立波(5.32)的影响.设置为a=1;V=1;k=1;p=0.5;T=1,σ取不同值
图5.5 双环孤立波(5.34)在不同视图下的图形.参数设置为V=1;k=1;p=0.5;σ=-3;a=0.8
图5.6 系统参数p对双环孤立波(5.34)的影响.设置为a=0.5;V=1;k=1;σ=-8;T=0,p取不同值
图5.7 T对双环孤立波(5.34)的影响.设置为V=1;k=1;p=1;σ=-3;a=-1.6,T取不同值
图5.8 σ对双环孤立波(5.34)的影响.设置为V=1;k=1;p=1;T=1;a=-1.6,σ取不同值
图6.1 Zabolotskaya-Khokhlov系统的三孤立波(6.42)演化与交互.参数满足式(6.42),t取不同的值
图6.2 单环状孤立波.单孤立波解(6.61),设置满足式(6.62),β=-9,p取不同值
图6.3 单尖状孤立波.单孤立波解(6.61),设置满足式(6.62),β=8,p取不同值
图6.4 单峰状孤立波.单孤立波解(6.61),设置满足式(6.62),β=35,p取不同值
图6.5 系统(6.43)双孤立波的六种形态.解为式(6.67),k1;k2和β取不同值
图6.6 系统(6.43)三孤立波的形态示例.解为式(6.76),参数p;k1;k2;β不同
图6.7 系统(6.43)双孤立波演化与交互过程.解为式(6.67),参数p;k1;k2;β满足设置(6.79)
图6.8 系统(6.43)双孤立波演化与交互过程.解为式(6.67),参数p;k1;k2;β满足设置(6.80)
图6.9 系统(6.43)三孤立波演化与交互过程.解为式(6.76),参数p;k1;k2;k3;β满足设置(6.81)
图6.10 系统(6.43)三孤立波演化与交互过程.解为式(6.76),参数p;k1;k2;k3;β满足设置(6.82)
图6.11 系统(6.43)三孤立波演化与交互过程.解为式(6.76),参数p;k1;k2;k3;β满足设置(6.83)
图6.12 系统(6.43)三孤立波演化与交互过程.解为式(6.76),参数p;k1;k2;k3;β满足设置(6.84)
图6.13 系统(6.43)三孤立波演化与交互过程.解为式(6.76),参数p;k1;k2;k3;β满足设置(6.85)
图6.14 系统(6.43)三孤立波演化与交互过程.解为式(6.76),参数p;k1;k2;k3;β满足设置(6.86)
图6.15 系统(6.43)三孤立波演化与交互过程.解为式(6.76),参数p;k1;k2;k3;β满足设置(6.78)
图7.1 行波与孤立波关系图.解u1(7.66)满足条件(7.68),模数m和β取不同值
图7.2 行波与孤立波关系图.解u2(7.67)满足条件(7.68),模数m和β取不同值
图8.1 周期波解.解(8.27)在设置(8.31)且β=-5时的图形
图8.2 周期波解.解(8.27)在设置(8.31)且β=6时的图形
图8.3 周期波解.解(8.27)在设置(8.31)且β=10时的图形
图8.4 周期波解.解(8.27)在设置(8.31)且β=12.6时的图形
图8.5 周期波解.解(8.27)在设置(8.31)且β=13.2时的图形
图8.6 周期波解.解(8.27)在设置(8.31)且β=15时的图形
图8.7 周期波解.解(8.27)在设置(8.31)且β=15.8时的图形
图8.8 周期波解.解(8.27)在设置(8.31)且β=16时的图形
图8.9 周期波解(8.59),m=0.1
图8.10 周期波解(8.59),m=0.5
图8.11 周期波解(8.59),m=0.99
图8.12 孤立波(8.60)
图8.13 周期波解(8.61)
图8.14 周期波解(8.62)
图9.1 (1+1)维Gardner系统的混合函数解传播过程.解(9.34)在设置(9.37)下,j=0,变量t取不同值
图9.2 (1+1)维Gardner系统的混合函数解传播过程.解(9.34)在设置(9.37)下,j=1,变量t取不同值
图9.3 (1+1)维Gardner系统的混合函数解传播过程.解(9.36)在设置(9.38),j=0,模m取不同值
图10.1 非线性耦合Schr?dinger系统的Jacobi椭圆函数激发解.解(10.35)满足设置(10.42)-(10.44)时,不同视图下的图形
图10.2 非线性耦合Schr?dinger系统的Jacobi椭圆函数激发解的演化.解(10.35)满足设置(10.42)-(10.44),t取不同值时的图形
图10.3 非线性耦合Schr?dinger系统的三角函数激发解.解(10.35)满足设置为式(10.43),式(10.45)和式(10.46)时,不同视图下的图形
图10.4 非线性耦合Schr?dinger系统的三角函数激发解的演化.解(10.35)满足设置为式(10.43),式(10.45)和式(10.46),t取不同值时的图形
图10.5 非线性耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的时间孤子.解(10.72)中h(t);r(t)满足式(10.75),x;C1;C2;δ1满足式(10.76),k取不同值
图10.6 非线性耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的时间孤子.解(10.72)中h(t);r(t)满足式(10.77),x;C1;C2;δ1;k1;k2满足式(10.78),k取不同值
图10.7 非线性耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的时间孤子.解(10.72)中h(t);r(t)满足式(10.79),x;C1;C2;δ1满足式(10.80),k取不同值
图10.8 非线性耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的时间孤子.解(10.72)中h(t);r(t)满足式(10.81)和式(10.82),x;C1;C2;δ1;满足式(10.83),k取不同值
图10.9 非线性耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的时间孤子.解(10.72)中h(t);r(t)满足式(10.84),式(10.85),式(10.86),x;C1;C2;k1;δ1满足式(10.87),k2;k3取不同值
图11.1 单向线孤子.解(11.38)在设置(11.39)-(11.40)下的图形
图11.2 环状Lump孤子.解(11.38)在t=-20,设置为式(11.42)及式(11.41)时的图形
图11.3 峰状Lump孤子.解(11.38)在t=0,设置为式(11.42)及式(11.41)时的图形
图11.4 Lump孤子演化图.解(11.38)在设置为式(11.42)及式(11.41)下的演化过程
图11.5 Lump孤子及其演化.解(11.38)在设置为式(11.43)及式(11.44)下的演化过程
图11.6 双Lump孤子.解(11.38)在设置(11.44)下,f(x,t);g(y)满足不同条件时的图形
图11.7 Dromion孤子.解(11.38)在设置为式(11.51),f;g分别取式(11.47)-(11.50)时的图形
图11.8 单向振动Dromion孤子.解(11.38)在f(x,t);g(y)选取为式(11.52)及设置为式(11.53)时的图形
图11.9 单向振动Dromion孤子(图11.8)的剖面图
图11.10 双向振动Dromion孤子.解(11.38)在f(x,t);g(y)选取为式(11.54)及设置为式(11.53)时的图形
图11.11 双向振动Dromion孤子(图11.10)的剖面图
图11.12 呼吸孤子.解(11.38)在f(x,t);g(y)选取为式(11.55)及设置为式(11.56),t取不同值时的图形
图11.13 Solitoff孤子.解(11.38)在f(x,t);g(y)取式(11.57),且设置为式(11.58)下的图形
图11.14 单Peakon孤子.解(11.38)在取式(11.61)和式(11.62)及设置为式(11.63)时的图形
图11.15 双Peakon孤子.解(11.38)在取式(11.61)和式(11.62)及设置为式(11.64)时的图形
图11.16 塌陷Peakon孤子与塌陷Peakon孤子.解(11.38)在取式(11.65),式(11.62)及设置式(11.63)时的图形
图11.17 单Compacton孤子.解(11.38)在取式(11.68)和式(11.69)及设置为式(11.70)时的图形
图11.18 方孤子及其演化.解(11.38)在取式(11.71)及设置为式(11.72)时的演化图形
图11.19 单向折叠孤子.解(11.38)在f(x,t)选取为式(11.76),g(y)选取为式(11.77)及设置为式(11.78)的图形
图11.20 单向双折叠孤子.解(11.38)在f(x,t)选取为式(11.76),g(y)选取为式(11.79)及设置为式(11.78)的图形
图11.21 单向上下折叠孤子.解(11.38)在f(x,t)选取为式(11.80),g(y)选取为式(11.77)及设置为式(11.78)的图形
图11.22 双层凹状折叠孤子.解(11.38)在*;x;g选取为式(11.81)及设置为式(11.82)时的图形
图11.23 双向折叠孤子.解(11.38)在*;x;*;y选取为式(11.83)及设置为式(11.84)时的图形
图11.24 单向三折叠孤子.解(11.38)在选取*;x;g为式(11.85)及设置为式(11.86)时的图形
图11.25 双向双层折叠孤子.解(11.38)在*(X,t);x;*;y选取式(11.87)及设置为式(11.88)时的图形
图11.26 一类折叠孤子.解(11.38)在*(X,t);x;g选取为式(11.89)及设置式(11.90)的演化图形
图11.27 周期折叠孤子.解(11.38)在*(X,t);x;g选取为式(11.91)及设置为式(11.92)时的演化图形
图11.28 孤子的同向追碰.解(11.38)在f(X,t);g(y)选取为式(11.93)及设置为式(11.94)的演化图形
图11.29 孤子的异向碰撞.解(11.38)在f(X,t);g(y)选取为式(11.95)及设置为式(11.96)的演化图形
图11.30 孤子的弹性碰撞.解(11.38)在f(X,t);g(y)选取为式(11.97)及设置为式(11.98)的演化图形
图11.31 孤子的裂变.解(11.38)在f(X,t);g(y)选取为式(11.99)及设置为式(11.100)的演化图形
图11.32 孤子的聚变.解(11.38)在f(X,t);g(y)选取为式(11.101)及设置为式(11.100)的演化图形
图11.33 孤子的湮灭.解(11.38)在f(X,t);g(y)选取为式(11.102)及设置为式(11.103)的演化图形
图11.34 周期波背景的Dromion孤子
图11.35 周期波背景的双Dromion孤子演化.解(11.38)在f(X,t);g(y)选取为式(11.106)及设置为式(11.105),t取不同值的图形
图11.36 内嵌孤子.解(11.148)在取式为式(11.149)及设置为式(11.150)时的演化图形
图11.37 三重内嵌孤子.解(11.148)在选取为式(11.151)及设置为式(11.152)时的演化图形
图11.38 明暗内嵌孤子.解(11.148)在选取为式(11.152)及设置为式(11.153)时的图形
图11.39 螺旋状明暗内嵌孤子.解(11.148)在选取为式(11.152)及设置为式(11.154)时的图形
图11.40 锥孤子.解(11.148)在选取为式(11.155)及设置为式(11.156)时的图形
图11.41 柱孤子.解(11.148)在取式(11.157)及设置为式(11.158)时的图形
图12.1 Lorenz系统混沌解
图12.2 Lorenz系统混沌解
图12.3 Duffing系统混沌解
图12.4 (3+1)维Burgers系统的单向混沌结构
图12.5 (3+1)维Burgers系统的单向混沌结构
图12.6 (3+1)维Burgers系统的单向混沌结构
图12.7 (3+1)维Burgers系统的单向混沌结构
图12.8 (2+1)维变系数色散长波系统的单向混沌结构
图12.9 (2+1)维变系数色散长波系统的单向混沌结构
图12.10 (3+1)维Burgers系统的双向混沌结构
图12.11 (3+1)维Burgers系统的双向混沌结构
图12.12 (2+1)维变系数色散长波系统的双向混沌结构
图12.13 (2+1)维变系数色散长波系统双向混沌结构的演化.解(11.38)满足条件(12.5),条件(12.6),且x取Duffing系统(12.2)的混沌解X,y取Duffing系统(12.2)的混沌解dX=dt,时间t取不同值时的图形
图12.14 (3+1)维变Burgers系统双向混沌结构的演化.解(11.148)满足条件(12.11),条件(12.12),且x取Duffing系统(12.2)的混沌解X,z取Duffing系统(12.2)的混沌解dX=dt,时间t取不同值时的图形
图13.1 十字型孤子结构.解(13.26)满足条件(13.27),且在不同参数设置下的图形
图13.2 十字型分形结构.解(13.26)满足条件(13.27)和条件(13.28),且在不同区域上的图形
图13.3 十字型分形结构.解(13.26)满足条件(13.27)和条件(13.32),且在不同区域上的图形
图13.4 单向分形结构.解(13.26)满足条件(13.34)和条件(13.28),且在不同区域上的图形
图13.5 Dromion分形结构.解(13.26)满足条件(13.35)和条件(13.36)的图形
图13.6 Dromion分形结构.解(13.26)满足条件(13.37)和条件(13.36),且在不同区域上的图形
图13.7 单向Dromion分形结构.解(13.26)满足条件(13.38)和条件(13.36),且在不同区域上的图形
图13.8 代数分形结构.解(13.26)满足条件(13.39)和条件(13.36)的图形
图13.9 复合分形结构.解(13.26)满足条件(13.40)和条件(13.28)的图形
图13.10 复合分形结构.解(13.26)满足条件(13.41)和条件(13.42)的图形