高等代数教程
出版时间：2014年版
内容简介
高等代数教程除了第0章“整数，数域与多项式”外，将“线性代数”内容分为上下两篇，上篇以较为具体的“线性方程组的一般理论问题”的提出、分析、抽象、解决和引申为线索组织“线性空间理论”，并在问题的讨论中充分使用它;下篇以“实二次型的主轴问题”的提出、分析、抽象、解决和引申为线索组织“线性变换理论”，并在问题的讨论中充分使用它，这是宏观框架，详见目录.其微观处理，则以“线性相关性”这一“线性代数”的核心概念贯穿始终，且使用了许多独特的处理方法和技巧.每章后的习题之外，贯穿于各章节中的诸多“注”提供了若干思考问题.另外，高等代数教程在“现代化处理上”实现了内容上的诸多“更新”（语言上的，开发路线上的，证明方法上的，…），也给出了内容上的适当的“增新”（诸如引进了出现于28年前的“关于多项式的FermAt大定理的初等证明”）.
目录
第 0章整数,数域与多项式 1
0.1集合,映射与运算 1
0.2整数 6
0.3数域 11
0.4多项式与多项式函数 12
0.5带余除法,余数定理和零点 —因子定理 17
0.6最大公因式与最小公倍式 18
0.7因式分解与重因式 24
0.8 C, R和 Q上的多项式 31
0.9关于多项式的 FermAt大定理的一个初等证明 36
习题 0 40
上篇线性方程组的一般理论问题
引言线性方程组, 5元解法及其在增广矩阵上的实现 49
习题 56
第 1章矩阵代数 58
1.1矩阵代数 58
1.2分块矩阵 64
1.3矩阵的初等变换与等价标准形 71
习题 1 74
第 2章一类特殊线性方程组的行列式法则 (CrAmer法则) 78
2.1 n阶 (方阵的)行列式 78
2.2行列式的基本性质 (特别地,方阵代数与行列式)及其应用 81
2.3线性方程组的 CrAmer法则 90
2.4行列式的展开式 95
2.5行列式的 (一种)公理化定义 97
习题 2 99
第 3章线性方程组的一般理论 105
3.1 n元向量的线性相关性与方程组的求解问题 105
3.2矩阵的秩与方程组的求解问题 110
3.3线性方程组的解的结构 117
习题 3 127
第 4章线性空间与线性方程组 133
4.1线性空间与其子空间 133
4.2维数,基底,坐标与 CrAmer法则 137
4.3坐标变换与 CrAmer法则 143
4.4线性空间的同构与线性方程组理论的一个应用 148
4.5线性方程组解集的几何结构 151
习题 4 153
第 5章对称双线性度量空间与线性方程组 158
5.1线性空间上的线性和双线性函数 158
5.2对称双线性度量空间与线性方程组可解的几何解释 163
5.3 Euclid空间 166
5.4向量到子空间的距离与线性方程组的最小二乘法 174
习题 5 179
下篇实二次型的主轴问题
引言二次型主轴问题的几何原型 185
1二次型的一般问题 186
2从二次曲线讲起——实二次型主轴问题的几何原型 187
习题 193
第 6章线性空间上的线性变换 194
6.1线性变换及其合成和矩阵表示 194
6.2不变子空间,特征根与特征向量 204
6.3特征多项式与最小多项式 208
6.4 CAyley-HAmilton定理的传统证明 221
习题 6 222
第 7章线性空间关于线性变换的一类直和分解 230
7.1线性映射 (特别地,线性变换)的像与核 230
7.2线性空间关于线性变换的一类直和分解 236
习题 7 241
第 8章 Euclid空间上的两类线性变换与二次型主轴问题 242
8.1正变变换与对称变换 242
8.2二次型的主轴问题 246
8.3一个应用 (将一对实二次型同时化简为平方和) 253
8.4二次型的一般问题 259
习题 8 276
第 9章引申 --------一般矩阵的 (相似)标准形 280
9.1 λ矩阵及其等价标准形 280
9.2 λ矩阵的行列式因子,不变因子和初等因子 285
9.3矩阵的相似与其特征矩阵的等价 289
9.4矩阵的不变因子与 Frobenius (有理)标准形 292
9.5矩阵的初等因子与 JAcobson标准形 (特例为 JordAn标准形) 295
9.6 JordAn标准形的几何解释 302
习题 9 304
参考文献 308
索引 309
