数学在19世纪的发展 第二卷
作者：（德）克莱因著；李培廉译
出版时间：2011年版
内容简介
《数学在19世纪的发展（第2卷）》与第一卷有所不同，它是专门讲述不变量理论以及相对论的数学源头，即相对论的数学史前史的，其中也包括了克莱因本人的一些研究成果。从数学上来讲，狭义相对论可以说就是在lorentz变换群下的不变量理论，而广义相对论则可说是在一般点变换群下的不变量理论。在这个意义上，相对论与克莱因的《erlangen纲领》在思想上是一脉相承的。相对论与19世纪数学在思想上与历史上的联系第一次在《数学在19世纪的发展（第2卷）》中得到了详细的论述。《数学在19世纪的发展（第2卷）》不再是按时间发展的顺序讲述，而是将不变量理论及其在物理学中的应用归拢到一起做系统的讲述。时至今日，它仍是学习不变量理论及其应用的一本极好的教材，对学习数学和物理的学生和教师都有极高的参考价值，也适合对数学及科学思想文化发展感兴趣的读者阅读。
目录
《数学翻译丛书》序
编者前言
引言
第一章 线性不变量理论的基本概念初步
a 一般线性不变量理论概述
1 线性代换．不变量的概念
2 graβmann层量
3 关于我们的量丛(特别是graβmann层量)的几何意义
4 二次型及其不变量
5 关于二次型的等价
6 由一个二次型确定仿射度量
7 关于含同步变量的双线性型和含逆步变量的双线性型
b 线性不变量理论的意义随向量分析的引入而导致的扩充
1 关于erlangen纲领
2 对三维空间的特殊考察
3 四元数插话
4 过渡到向量代数和张量代数的基本概念
5 向量分析(张量分析)的引入
6 向量学中的不变量理论表述
7 关于在maxwell的treatise(通论)之后向量学在各国的发展
第一章注释
第二章 力学与数学物理中的狭义相对论
a 经典天体力学与galilei-newton群的相对论
1 从n体问题的微分方程看群的定义和意义
2 关于经典力学n体问题的10个通积分
b maxwell电动力学和lorentz群的相对论
ⅰ 导论
1 自由以太的maxwell方程组
2 正交形式下的lorentz群
3 返回到x，y，z，t
4 谈电学和原子的概念在maxwell的通论发表(1873)后的发展
5 关于20世纪以前对maxwell理论的数学处理
6 关于lorentz群的发展过程
7 关于新学说的进一步的传播．1911年及1909年以后的发展
ⅱ 在正交形式下lorentz群的处理
1 相应四维分析纲要
2 再谈四元数
3 关于用积分关系式来代替maxwell方程组
4 四维势以及与之相关的变分定理
5 我们的四维分析在具体问题上的应用举例
6 lorentz群的相对论
ⅲ 回归lorentz群的实数关系
1 导论
2 几何的辅助概念
3 借助进一步的几何运算完善我们的物理世界图像
4 关于偏微分方程 的求积简史
5 初等光学，特别是几何光学，作为maxwell方程组的第一级近似
c 关于力学与lorentz群的相对论的相适应
1 从lorentz群向galilei-newton群的极限过渡
2 单个质点的动力学
3 谈刚体的理论
结束语
第二章注释
第三章 以二次微分形式为基础的解析点变换群
a 经典力学的一般lagrange方程
引言
1 lagrange方程及其g∞群的引入
2 lagrange方程的g∞群和galilei newton群 copernicus坐标系和ptolemy坐标系
3 简化变分原理，过渡到几何
b 建立在gauβ的《disquisitiones circa superficies curvas(曲面理论的一般研究)》的基础之上的二维流形的内蕴几何学
1 概述
2 关于测地线的微分方程
3 在不变量理论框架中gaub曲面论中几个最简单的定理和概念
4 谈gauβ全曲率概念的引入
5 关于在任意给定的ds2下全曲率k的解析表示
6 riemann公式的证明以及几种相应的计算
7 关于两个二元ds2之间的等价．全曲率为常量时的详情
c n维riemann流形 i．形式基础
1 历史简述
2 只有一阶微分的微分形式
3 关于riemann全曲率的开场白
4 测地线方程以及与之相关的不变量
5 riemann的[ω]
6 riemann全曲率的计算公式
d n维riemann流形 ii．正规坐标．几何意义
1 riemann正规坐标及其所属的ds2的结构
2 限制到o的最近的邻域．kn的一般几何意义
3 位置不变量k的几何意义
4 最简单的方向不变量的几何意义．过渡到平均曲率k(n-1)
5 在零全曲率空间或定常全曲率空间中的等价问题
e riemann之后的若干进一步发展
1 1870年前后出现的一些人物的个性以及他们的后续影响
2 beltrami的构造不变量的方法
3 lipschitz与christoffel：通过微分和消元法，特别是通过“逆步微分”构造不变量
4 谈christoffel在1869年的论文
5 用无限小变换表征不变量(lie)
6 关于一任意张量tik的向量散度
结束语
第三章注释
附录ⅰ dr. felix klein：对新近以来几何学研究的比较考察
附录ⅱ bernhard riemann：单复变量函数一般理论基础
附录ⅲ bernhard riemann：论奠定几何学基础之假设
附录ⅳ bernhard riemann：对试图回答最著名的巴黎科学院所提出问题的数学评述
人名索引
专业名词索引
译后记
