偏微分方程数值解法（土建类）
作 者： 樊洪明 著
出版时间：2014
丛编项： 普通高等教育规划教材
内容简介
本书系统地阐述了偏微分方程数值解法的理论基础及其在土建类专业中的应用。全书分有限差分法、变分法与加权余量法、有限元法以及有限体积法四章。本书起点较低，并不一味追求数学的严密性和逻辑性，而是尽量为读者提供偏微分方程数值解法的有关基本概念、基本原理和解决实际问题的方法与步骤，层次清晰，深入浅出，便于自学。本书可作为高等学校工科相关专业的本科教材，也可供工科专业研究生、教师和广大科技人员参考。
目录
前言
第1章有限差分法1
1.1偏微分方程概述1
1.1.1偏微分方程的基本概念1
1.1.2偏微分方程分类2
1.1.3定解问题与边界条件3
1.2常微分方程的有限差分法4
1.2.1导数的差分近似4
1.2.2线性常微分方程边值问题的有限差分法求解6
1.2.3差分方程解的存在性和唯一性7
1.2.4差分方程的收敛性9
1.3偏微分方程有限差分法原理11
1.3.1微商与差商11
1.3.2有限差分方程的构建13
1.3.3从积分形式出发建立差分格式15
1.3.4显式差分格式与隐式差分格式18
1.4边界条件和初始条件的处理方法18
1.4.1矩形计算域边界条件处理18
1.4.2非规则计算域边界条件处理20
1.4.3采用单元积分法处理边界条件22
1.4.4初始条件处理24
1.5有限差分格式的相容性、稳定性与收敛性24
1.5.1偏微分方程定解问题的适定性24
1.5.2有限差分格式的相容性25
1.5.3有限差分格式的收敛性26
1.5.4有限差分格式的稳定性27
1.5.5Lax等价定理37
1.6椭圆型方程的有限差分格式37
1.6.1五点差分格式38
1.6.2非均匀网格上的差分格式39
1.6.3非矩形计算域上的差分格式41
1.6.4差分方程解法43
1.7双曲型方程的有限差分格式44
1.7.1一阶波动方程的差分格式44
1.7.2二阶波动方程的差分格式46
1.8抛物型方程的有限差分格式49
1.8.1一维抛物型方程的差分格式49
1.8.2二维抛物型方程的差分格式52
1.8.3一维对流扩散方程的差分格式56
1.9数值效应57
1.9.1差商逼近微商的近似性质57
1.9.2物理耗散和弥散58
1.9.3数值耗散和弥散61
1.9.4数值振荡效应65
习题66
第2章变分法与加权余量法68
2.1变分法概述68
2.1.1变分法的基本概念68
2.1.2变分的特性70
2.2欧拉方程75
2.2.1一维固定端点问题的欧拉方程75
2.2.2一维可动端点问题的欧拉方程80
2.2.3二维和三维问题的欧拉方程81
2.2.4待定边界的变分问题86
2.3里兹法87
2.3.1里兹法的基本思想88
2.3.2微分方程对应的变分问题90
2.4加权余量法94
2.4.1加权余量法的基本思想95
2.4.2配置法96
2.4.3子区域法97
2.4.4最小二乘法98
2.4.5矩法99
2.4.6伽辽金法100
2.4.7伽辽金法与里兹法的关系101
2.4.8二维偏微分方程化为常微分方程求解102
2.5强解与弱解104
2.5.1弱解积分表达式104
2.5.2强解积分表达式105
2.6伽辽金法求解初值问题109
2.6.1波动方程的伽辽金积分表达式110
2.6.2扩散方程的伽辽金积分表达式110
2.6.3非定常问题求解111
2.7伽辽金法求解非线性问题114
2.8基函数的选取115
习题117
第3章有限元法119
3.1有限元法的基本原理119
3.1.1有限元法基本原理119
3.1.2有限元法解题步骤120
3.2有限元列式方法122
3.2.1基于变分原理的有限元列式方法122
3.2.2基于加权余量法的有限元列式方法124
3.3单元的形状和自然坐标126
3.3.1单元的形状126
3.3.2自然坐标127
3.4插值函数138
3.4.1插值函数概述138
3.4.2单元的插值函数142
3.4.3基本单元及其线性插值函数145
3.5曲边单元与等参单元148
3.6拟协调单元和埃尔米特多项式插值157
3.7高斯积分163
3.7.1高斯积分概述163
3.7.2一维线段基本单元的高斯积分164
3.7.3二维正方形基本单元的高斯积分165
3.7.4三维正方体基本单元的高斯积分165
3.7.5三角形基本单元的高斯积分166
3.7.6四面体基本单元的高斯积分167
3.8有限元法求解步骤167
3.8.1写出积分表达式167
3.8.2区域剖分168
3.8.3确定单元基函数170
3.8.4单元分析172
3.8.5总体合成173
3.8.6边界条件处理175
3.8.7解有限元方程177
3.9有限元法求解偏微分方程边值问题178
3.9.1写出积分表达式178
3.9.2区域剖分179
3.9.3确定单元基函数180
3.9.4单元分析181
3.9.5总体合成183
3.9.6边界条件处理184
3.9.7解有限元方程185
3.10非线性问题的有限元法187
3.11非定常问题的有限元法189
3.11.1抛物型方程的步进法189
3.11.2双曲型方程的步进法191
3.11.3非线性方程的步进法191
3.12泰勒?伽辽金有限元法192
3.12.1一维对流方程192
3.12.2多维对流扩散方程的泰勒?伽辽金有限元格式194
习题196
第4章有限体积法198
4.1流体流动与传热基本方程198
4.1.1连续性方程198
4.1.2动量方程200
4.1.3能量方程200
4.1.4组分质量守恒方程201
4.1.5状态方程202
4.1.6牛顿流体运动控制方程202
4.1.7湍流概述203
4.1.8流动控制方程的通用形式205
4.2有限体积法的基本思想和特点205
4.3一维稳态扩散问题的有限体积法207
4.4多维稳态扩散问题的有限体积法214
4.4.1二维稳态扩散问题的有限体积法214
4.4.2三维稳态扩散问题的有限体积法219
4.5一维对流扩散问题的有限体积法221
4.6多维对流扩散问题的有限体积法227
4.6.1二维对流扩散问题的有限体积法227
4.6.2三维对流扩散问题的有限体积法229
4.7有限体积法离散格式的特征230
4.8有限体积法常用的离散格式234
4.8.1对流扩散问题的一阶离散格式234
4.8.2混合离散格式238
4.8.3指数离散格式与乘方离散格式240
4.8.4QUICK格式242
4.9压力与速度耦合问题的有限体积法249
4.9.1压力与速度耦合问题249
4.9.2交错网格技术250
4.9.3SIMPLE算法255
4.9.4SIMPLER算法259
4.9.5SIMPLEC算法260
4.10有限体积法离散方程的解法262
4.10.1引言262
4.10.2TDMA算法263
4.10.3TDMA算法在二维问题中的应用267
4.10.4TDMA算法在三维问题中的应用268
4.11非稳态流动问题的有限体积法269
4.11.1非稳态流动问题的守恒方程269
4.11.2非稳态扩散问题的守恒方程270
4.12非稳态对流扩散问题的离散方程及其解法277
4.12.1非稳态对流扩散问题一阶差分格式277
4.12.2SIMPLE算法在瞬态问题中的应用279
4.13边界条件设定方法280
4.13.1概述280
4.13.2入口边界条件处理282
4.13.3出口边界条件处理283
4.13.4固定壁面边界条件处理284
4.13.5压力边界条件处理288
4.13.6对称边界条件处理289
4.13.7周期或循环边界条件处理289
4.13.8处理边界条件潜在问题290
习题291
参考文献293
